问题 解答题

在数列{an}中,a1=2,an+1=3an-2n+1.

(Ⅰ)证明:数列{an-n}是等比数列;

(Ⅱ)求数列{an}的通项公式an

(Ⅲ)求数列{an}的前n项和Sn

答案

(Ⅰ)因为

an+1-(n+1)
an-n
=
3an-2n+1-(n+1)
an-n
=
3an-3n
an-n
=3,

所以数列{an-n}是公比为3的等比数列;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得an-n=(2-1)•3n-1=3n-1

则an=3n-1+n;

(Ⅲ)所以数列{an}的前n项和

Sn=(1+5+8+…+3n-1)+(1+2+3+…+n)=

3n+n2+n-1
2

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