∵函数f（x）的对称轴方程为x=1-2a．（1分）

（1）当a+1≤1-2a时，即a≤0时，f（x）在[a，a+1]上是减函数，

g（a）=f（a+1）=（a+1）²+（4a-2）（a+1）+1=5a²+4a；（4分）

（2）当a＜1-2a＜a+1时，即0＜a＜

1

3

时，

g（a）=f（1-2a）=（1-2a）²+（4a-2）（1-2a）+1=-4a²+4a（7分）

（3）当1-2a≤a时，即a≥

1

3

时，f(x)在[a，a+1]上是增函数，

g（a）=f（a）=a²+（4a-2）a+1=5a²-2a+1．（10分）

所以g(a)=

5a2+4a(a≤0) -4a2+4a (0＜a＜ 1 3 ) 5a2-2a+1(a≥ 1 3 )

（12分）