问题 解答题

已知函数f(x)=x2+(4a-2)x+1(x∈[a,a+1])的最小值为g(a).求函数y=g(a)的解析式.

答案

∵函数f(x)的对称轴方程为x=1-2a.(1分)

(1)当a+1≤1-2a时,即a≤0时,f(x)在[a,a+1]上是减函数,

g(a)=f(a+1)=(a+1)2+(4a-2)(a+1)+1=5a2+4a;(4分)

(2)当a<1-2a<a+1时,即0<a<

1
3
时,

g(a)=f(1-2a)=(1-2a)2+(4a-2)(1-2a)+1=-4a2+4a(7分)

(3)当1-2a≤a时,即a≥

1
3
时,f(x)在[a,a+1]上是增函数,

g(a)=f(a)=a2+(4a-2)a+1=5a2-2a+1.(10分)

所以g(a)=

5a2+4a(a≤0)
-4a2+4a (0<a<
1
3
)
5a2-2a+1(a≥
1
3
)
(12分)

选择题
单项选择题 A1/A2型题