问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an+n2-4n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；
（Ⅱ）求证：数列{an-2n+1}为等比数列；
（Ⅲ）求Sn．
答案
（Ⅰ）由Sn=2an+n2-4n，
当n=1时，a1=2a1+1-4，可得a1=3．an+1=Sn+1-Sn=2an+1+（n+1）2-4（n+1）-2an-n2+4n，
可得an+1=2an-2n+3．
可得a2=7，a3=13．
（Ⅱ）由an+1=2an-2n+3可得，
=an+1-2(n+1)+1 an-2n+1
=2an-2n+3-2(n+1)+1 an-2n+1
=2．2an-4n+2 an-2n+1
又a1-2×1+1=2．
所以数列{an-2n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，an-2n+1=2n．
所以an=2n-1+2n．
又Sn=2an+n2-4n，
可得Sn=2n+1+n2-2．
