问题
解答题
已知等比数列{an}的前n项和为Sn=(
（Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅲ）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． |
答案
（Ⅰ）a1=
-c，a2=(1 3
)2-1 3
=-1 3
，a3=(2 9
)3-(1 3
)2=-1 3
（3分）2 27
因为{an}为等比数列所以a22=a1a3，得c=1（4分）
经检验此时{an}为等比数列．（5分）
（Ⅱ）∵bn+1=
(n∈N*)bn 1+2bn
∴
=1 bn+1
+2(n∈N*)1 bn
数列{
}为等差数列 （7分）1 bn
又S1=b1=c=1，所以
=1 bn+1
+(n-1)×2=2n-1(n∈N*)1 b1
所以bn=
（n∈N*）（10分）1 2n-1
（Ⅲ）Tn=
(1 2
-1 b1
+1 b2
-1 b2
+…+1 b3
-1 bn
)=1 bn+1
(1-1 2
)=1 2n+1
（12分）n 2n+1
假设存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列
则
×1 3
=(n 2n+1
)2，所以n=m 2m+1 3m2 -2m2+4m+1
由n＞m＞1得
＞m且-2m2+4m+1＞03m2 -2m2+4m+1
即
，所以2m2-m-1＞0 2m2-4m-1＜0 m＞1或m＜- 1 2 1-
＜m＜1+6 2 6 2
因为m为正整数，所以m=2，此时n=12
所以满足题意的正整数存在，m=2，n=12．（15分）