问题
解答题
| 设函数y=f（x）满足：对任意的实数x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos2x+2sinx-3． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）若方程f(x)=2a|x-
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答案
（Ⅰ）f（sinx）=2sin2x-1+1-sin2x+2sinx-3=sin2x+2sinx-3，
所以f（x）=x2+2x-3（-1≤x≤1）．
（Ⅱ）①当x=
时，f(1 2
)≠0，不成立．1 2
②当-1≤x＜
时，x-1 2
＜0，1 2
令t=
-x，则x=1 2
-t，0＜t≤1 2
，2a=3 2
=t-(
-t)2+2(1 2
-t)-31 2 t
-3，7 4t
因为函数h(t)=t-
-3在(0，7 4t
]上单增，所以2a≤h(3 2
)=-3 2
⇒a≤-8 3
．4 3
③当
＜x≤1时，x-1 2
＞0，1 2
令t=x-
，则x=1 2
+t，0＜t≤1 2
，2a=1 2
=t-(
+t)2+2(1 2
+t)-31 2 t
+3，7 4t
因为函数g（t）=t-
+3在(0，7 4t
]上单增，所以2a≤g（1 2
）=0⇒a≤0．1 2
综上，实数a的取值范围是（-∞，0]．
