问题
解答题
已知数列{an}为等差数列，a1=2，且其前10项和为65，又正项数列{bn}满足bn=
（1）求数列{bn}的通项公式； （2）比较b1，b2，b3，b4的大小； （3）求数列{bn}的最大项； （4）令cn=lgan，数列{cn}是等比数列吗？说明理由． |
答案
（1）设{an}的公差为d
，则65=10a1+
d10×9 2
且a1=2，得d=1，从而an=n+1
故bn=
；n+1 n+1
（2）b1=
=2
＜6 23
=6 32
=b2b3=3 3
=4 4
=b1，2
b3=
=4 4
＞20 45
=20 54
=b45 5
∴b2＞b1=b3＞b4
（3）由（2）猜想{bn+1}递减，即猜想当n≥2时，
＞n+1 n+1 n+2 n+2
考察函数y=
(x＞e)，当x＞e时lnx＞1y′=lnx x
＜01-lnx x2
故y=
在（e，+∞）上是减函数，而n+1≥3＞elnx x
所以
＜ln(x+2) x+2
，即ln(x+1) x+1
＜n+2 n+2 n+1 n+1
于是猜想正确，因此，数列{bn}的最大项是b2=
；3 3
（4）{cn}不是等比数列
由cn=lgan=lg（n+1）知
cncn+2=lg(n+1)lg(n+3)＜[
]2lg(n+1)+lg(n+3) 2
=[
]2＜[lg(n+1)lg(n+3) 2
]2lg(n+2)2 2
=lg2（n+2）
=cn+12
故{cn}不是等比数列．