问题
解答题
等差数列{ an}中a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn为{an}的前n项和，令bn=anan+1，数列{
（1）求an和Sn； （2）求证：Tn＜
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． |
答案
（1）设数列{an}的公差为d，
由a3=a1+2d=7，a1+a2+a3=3a1+3d=12，
解得a1=1，d=3，
∴an=3n-2，
Sn=n+
×3=n(n-1) 2
．3n2-n 2
（2）∵bn=anan+1=（3n-2）（3n+1），
∴
=1 bn
=1 (3n-2)(3n+1)
(1 3
-1 3n-2
)，1 3n+1
Tn=
(1-1 3
+1 4
-1 4
+1 7
-1 7
+…+1 11
-1 3n-5
+1 3n-2
-1 3n-2
)1 3n+1
=
(1-1 3
)＜1 3n+1
．1 3
（3）由（2）知，Tn=
，∴T1=n 3n+1
，Tm=1 4
，Tn=m 3m+1
，n 3n+1
∵T1，Tm，Tn成等比数列，
∴(
)2=m 3m+1
×1 4
，n 3n+1
即
=6m+1 m2
，3n+4 n
当m=1时，7=
，n=1，不合题意；3n+4 n
当m=2时，
=13 4
，n=16，符合题意；3n+4 n
当m=3时，
=19 9
，n无正整数解；3n+4 n
当m=4时，
=25 16
，n无正整数解；3n+4 n
当m=5时，
=31 25
，n无正整数解；3n+4 n
当m=6时，
=37 36
，n无正整数解；3n+4 n
当m≥7时，m2-6m-1=（m-3）2-10＞0，
则
＜1，而6m+1 m2
=3+3n+4 n
＞3，4 n
所以，此时不存在正整数m，n，且7＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．
综上，存在正整数m=2，n=16，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列．