过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|A

问题解答题

过抛物线y²=4ax（a＞0）的焦点F，作相互垂直的两条焦点弦AB和CD，求|AB|+|CD|的最小值．

答案

抛物线的焦点F坐标为（a，0），设直线AB方程为y=k（x-a），

则CD方程为y=-

(x-a)，

分别代入y²=4x得：k²x²-（2ak²+4a）x+k²a²=0及

x2-(2a

+4a)x+

=0，

∵|AB|=xA+xB+p=2a+

+2a，|CD|=x_C+x_D+p=2a+4ak²+2a，

∴|AB|+|CD|=8a+

+4ak2≥16a，当且仅当k²=1时取等号，

所以，|AB|+|CD|的最小值为16a．