问题
解答题
已知数列{an}中，a1=1，anan+1=(
（1）求证：数列{a2n-1}与{a2n}（n∈N*）均为等比数列； （2）求数列{an}的前2n项和T2n； （3）若数列{an}的前2n项和为T2n，不等式3（1-ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立，求k的最大值． |
答案
（1）∵anan+1=(
)n1 2
∴
=an+2 an 1 2
∴数列a1，a3，…，a2n-1，…是以1为首项，
为公比的等比数列；1 2
数列a2，a4，…，a2n，…是以
为首项，1 2
为公比的等比数列．1 2
（2）T2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=
+1-(
) n1 2 1- 1 2
=3-3•(
[1-(1 2
)n]1 2 1- 1 2
)n1 2
（3）64T2n•a2n≤3（1-ka2n）⇔64[3-3•(
)n](1 2
)n≤3-3k(1 2
)n⇔2n+1 2
≥64+k64 2n
2n+
≥16当且仅当n=3时取等号，64 2n
所以64+k≤16，即k≤-48
∴k的最大值为-48