问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．
（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an；
（Ⅱ）设bn=（2-n）（an-2），求{bn}的最大项．
答案
（Ⅰ）证明：由a1+s1=2a1=2得a1=1；
由an+Sn=2n得
an+1+Sn+1=2（n+1）
两式相减得2an+1-an=2，即2an+1-4=an-2，即an+1-2=
（an-2）1 2
是首项为a1-2=-1，公比为
的等比数列．故an-2=-(1 2
)n-1，故an=2-(1 2
)n-1，．1 2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=(2-n)•(-1)•(
)n-1=(n-2)•(1 2
)n-11 2
由bn+1-bn=
-n-1 2n
=n-2 2n-1
=n-1-2n+4 2n
≥0得n≤33-n 2n
由bn+1-bn＜0得n＞3，所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞…＞bn
故bn的最大项为b3=b4=
．1 4