已知二次函数f（x）=x2-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0

问题填空题

已知二次函数f（x）=x²-mx+m（x∈R）同时满足：（1）不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；（2）在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），bn=1-

8-m

，我们把所有满足b_i•b_i+1＜0的正整数i的个数叫做数列{b_n}的异号数．根据以上信息，给出下 * * 个命题：
①m=0；
②m=4；
③数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-5；
④数列{b_n}的异号数为2；
⑤数列{b_n}的异号数为3．
其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）

答案

若不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，根据二次函数的性质，应有△=（-m）²-4m=0 解得m=0或m=4．

当m=0时，f（x）=x²在（0，+∞）上是增函数，不满足（2），①错误

当m=4时，f（x）=x²-4x+4=（x-2）²，取0＜x₁=1＜x₂=2 使得不等式f（x₁）＞f（x₂），故m=4，②正确．

由上S_n=f（n）=（n-2）²，当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n-2）²-（n-3）²=2n-5．

∴an=

1 n=1

2n-5 n≥2

③错误

当n=1时，b₁=1-4=-3＜0，而b₂=1-

=5＞0，b₁b₂＜0，所以i可以为1．

n≥2时，b_n•bn+1=（1-

2n-5

）（1-

2n-3

）=

(2n-9)(2n-7)

(2n-5)(2n-3)

＜0

解得n=2，4．即i=2、4

即数列{b_n}的异号数为3． ④错误，⑤正确

故答案为：②⑤