已知a≥12，f（x）=-a2x2+ax+c．（1）如果对任意x∈[0，1]，总

问题解答题

已知a≥

，f（x）=-a²x²+ax+c．
（1）如果对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立，证明c≤

；
（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个不等实根x₁，x₂，且x₁≥0，x₂≥0，求实数c的取值范围．

答案

（1）f（x）=-a²（x-

）²+c+

，

∵a≥

，∴

∈（0，1]，

∴x∈（0，1]时，[f（x）]_max=c+

，-----------------------（2分）

∵f（x）≤1，则[f（x）]_max=c+

≤1，即c≤

，

∴对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立时，可得c≤

．--------------------------（5分）

（2）∵a≥

，∴

＞0

又抛物线开口向下，f（x）=0的两根在[0，+∞）内，

⇒

△＞0

≥0

f(0)≤0

⇒

c＞-

a＞0

f(0)≤0

⇒

c＞-

c≤0

⇒-

＜c≤0

所求实数c的取值范围为-

＜c≤0．---------------------（12分）