已知抛物线C的方程为x2=2py（p＞0），O为坐标原点，F为抛物线焦

问题解答题

已知抛物线C的方程为x²=2py（p＞0），O为坐标原点，F为抛物线焦点，直线y=x截抛物线C所得弦|ON|=4

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线过点F交抛物线于A，B两点，交x轴于点M，且

，

，对任意的直线l，a+b是否为定值？若是，求出a+b的值；否则，说明理由．

答案

（1）由

y=x

x2=2py

，解得O（0，0），N（2p，2p）

∵|ON|=4

∴4p²+4p²=32

∴p=2

∴抛物线C的方程为x²=4y；

（2）显然直线l的斜率一定存在，设其方程为y=kx+1，l与x轴交于M（-

，0）

设l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

直线与抛物线联立，消元可得x²-4kx-4=0

∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

由

，得（x₁+

，y₁）=a（-x₁，1-y₁），即a=-

kx1+1

kx1

同理b=-

kx2+1

kx2

∴a+b=-（2+

x2+x1

kx1x2

）=-1

∴对任意的直线l，a+b为定值．