对任意实数a，b，函数F（a，b）=12(a+b-|a-b|)，如果函数f（x）

问题填空题

对任意实数a，b，函数F（a，b）=

(a+b-|a-b|)，如果函数f（x）=-x²+2x+3，g（x）=x+1，那么函数H（x）=F（f（x），g（x））的最大值等于______．

答案

∵F（a，b）=

(a+b-|a-b|)=

b，a≥b

a，a＜b

∴H（x）=F（f（x），g（x））=

g(x)，f(x)≥g(x)

f(x)，f(x)＜g(x)

x+1，-1≤x≤2

-x2+2x+3，x＞2或x＜-1

∵当-1≤x≤2时，H（x）=x+1∈[0，3]

当x＞2或x＜-1时，H（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4＜3

综上可得，函数H（x）的最大值为3

故答案为：3