问题
解答题
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-3（n=1，2，…）．
（Ⅰ）证明：数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=an+2n（n=1，2，…），求数列{bn}的前n项和为Tn．
答案
（Ⅰ）证明：因为Sn=2an-3（n=1，2，…）．，则Sn-1=2an-1-3（n=2，3，…）．…（1分）
所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，…（3分）
整理得an=2an-1． …（4分）
由Sn=2an-3，令n=1，得S1=2a1-3，解得a1=3．…（5分）
所以{an}是首项为3，公比为2的等比数列． …（6分）
（Ⅱ）因为an=3•2n-1，…（7分）
由bn=an+2n（n=1，2，…），得bn=3•2n-1+2n．
所以Tn=3(1+21+22+…+2n-1)+2(1+2+3+…+n)…（9分）
=3
+2•1(1-2n) 1-2
…（11分）n(n+1) 2
=3•2n+n2+n-3
所以Tn=3•2n+n2+n-3． …（12分）