设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-3（n=1，2，…）．（Ⅰ）证

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．

（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；

（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n+2n（n=1，2，…），求数列{b_n}的前n项和为T_n．

答案

（Ⅰ）证明：因为S_n=2a_n-3（n=1，2，…）．，则S_n-1=2a_n-1-3（n=2，3，…）．…（1分）

所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，…（3分）

整理得a_n=2a_n-1． …（4分）

由S_n=2a_n-3，令n=1，得S₁=2a₁-3，解得a₁=3．…（5分）

所以{a_n}是首项为3，公比为2的等比数列． …（6分）

（Ⅱ）因为an=3•2n-1，…（7分）

由b_n=a_n+2n（n=1，2，…），得bn=3•2n-1+2n．

所以Tn=3(1+21+22+…+2n-1)+2(1+2+3+…+n)…（9分）

1(1-2n)

1-2

+2•

n(n+1)

…（11分）

=3•2ⁿ+n²+n-3

所以Tn=3•2n+n2+n-3． …（12分）