问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx （a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．
答案
（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-
，∴-b 2a
=1．①b 2a
又f（x）=x有等根，即ax2+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）2=0．②
由①，②得 b=1，a=-
．∴f（x）=-1 2
x2+x．1 2
（2）∵f（x）=-
x2+x=-1 2
（x-1）2+1 2
≤1 2
．1 2
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤
，∴n≤1 2
．1 6
从而m＜n≤
＜1，而x≤1，f（x）单调递增，1 6
∴
，f(m)=-
m2+m=3m1 2 f(n)=-
n2+n=3n1 2
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．