（1）当

an+bn

2

≥0时，b_n+1-a_n+1=

an+bn

2

-a_n=

bn-an

2

；

当

an+bn

2

＜0，b_n+1-a_n+1=b_n-

an+bn

2

=

bn-an

2

．

所以，总有b_n+1-a_n+1=

1

2

（b_n-a_n），

又b₁＞0，a₁＜0，可得b₁-a₁＞0，

所以数列{b_n-a_n}是等比数列．（4分）

（2）①由a₁=-1，b₁=2，可得

a1+b1

2

=

1

2

＞0，

故有[a2，b2]=[a1，

a1+b1

2

]，

∴b2=

a1+b1

2

=

1

2

，a₂=a₁=-1，从而a₂=-2b₂，

故当n=1时，a_2n=-2b_2n成立．（6分）

②假设当n=k时，a_2n=-2b_2n成立，即a_2k=-2b_2k，

由b_2k-a_2k=3b_2k＞0，可得b_2k＞0，

a2k+b2k

2

=

-2b2k+b2k

2

=-

b2k

2

＜0，

故有[a2k+1，b2k+1]=[

a2k+b2k

2

，b2k]，

∴a2k+1=

a2k+b2k

2

=-

b2k

2

，b2k+1=b2k，（9分）

a2k+1+b2k+1

2

=

- b2k 2 +b2k

2

=

b2k

4

＞0，

故有[a2k+2，b2k+2]=[a2k+1，

a2k+1+b2k+1

2

]

∴b2k+2=

a2k+1+b2k+1

2

=

b2k

4

，a2k+2=a2k+1=-

b2k

2

，

故a_2（k+1）=-2b_2（k+1）

∴当n=k+1时，a_2n=-2b_2n成立．

综合①②可得对一切正整数n，都有a_2n=-2b_2n．（12分）

（3）假设存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列，

由（1）可得b_n-a_n=（b₁-a₁）（

1

2

）^n-1，又a_n=a₁，

故b_n=a₁+（b₁-a₁）（

1

2

）^n-1，（14分）

由a_n+1=a_n恒成立，可知

an+bn

2

≥0，即a₁+（b₁-a₁）（

1

2

）ⁿ≥0恒成立，

即2ⁿ≤

a1-b1

a1

对任意的正整数n恒成立，（16分）

又

a1-b1

a1

是正数，

故n≤log2

a1-b1

a1

对任意的正整数n恒成立，

因为log2

a1-b1

a1

是常数，

故n≤log2

a1-b1

a1

不可能对任意正整数n恒成立．

故不存在a₁，b₁，使得数列{a_n}为常数数列．（18分）