问题
解答题
已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．
（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．
答案
（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）2+b（x+1）+c-（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，
∴
，a=1 b=-1 c=1
∴f（x）=x2-x+1；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2-3x+1＞m恒成立；
令g(x)=x2-3x+1=(x-
)2-3 2
，5 4
x∈[-1，1]，
则对称轴：x=
∉[-1，1]，3 2
则g（x）min=g（1）=-1，
∴m＜-1；
（3）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a-2）t+a2-a+1，t∈[-1，1]
对称轴为：t=
，1-2a 4
①当
≥0时，即：a≤1-2a 4
；如图1：1 2
g（t）max=g（-1）=4-（4a-2）+a2-a+1=a2-5a+7
②当
＜0时，即：a＞1-2a 4
；如图2：1 2
g（t）max=g（1）=4+（4a-2）+a2-a+1=a2+3a+3，
综上所述：g(t)max=a2-5a+7 a2+3a+3
．a≤ 1 2 a＞ 1 2
