已知数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且满足S2=4，S5=25，数列{

问题解答题

已知数列{a_n}是等差数列，S_n为其前n项和，且满足S₂=4，S₅=25，数列{b_n}满足b_n=

an-an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）设数列的首项为a₁，公差为d，则

∵S₂=4，S₅=25，

∴

2a1+d=4

5a1+10d=25

∴a₁=1，d=2

∴a_n=2n-1；

（2）①当n为偶数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，即需不等式λ＜2n+

+17恒成立．

∵2n+

≥8，等号在n=2时取得．

∴此时λ需满足λ＜25．

②当n为奇数时，要使不等式λT_n＜n+8•（-1）ⁿ恒成立，

即需不等式λ＜2n-

-15恒成立．

∵2n-

是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-

取得最小值-6．

∴此时λ需满足λ＜-21．

综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．

（3）T1=

，Tm=

2m+1

，Tn=

2n+1

，

若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

2m+1

)2=

•

2n+1

，即

4m2+4m+1

6n+3

．…12分

∴

-2m2+4m+1

＞0，

即-2m²+4m+1＞0，------------------------14分

∴1-

＜m＜1+

．

又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．

因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{T_n}中的T₁，T_m，T_n成等比数列．--------16分