问题 解答题
已知数列{an}满足a1=
1
2
,an=
an-1
1+an-1
(n∈N*,n≥2).
(Ⅰ)求a2,a3,a4,并猜想数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)令bn=
1
an
且cn=lgbn,判断数列{cn}是否为等比数列?并说明理由.
答案

(Ⅰ)∵a1=

1
2
,∴a2=
a1
1+a1
=
1
3
,同理得出a3=
1
3
a4=
1
4
,育网  

猜想an=

1
n+1
…(4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ),bn=n+1,cn=lg(n+1),{cn}不是等比数列.

方法一:由于cncn+2=lg(n+1)lg(n+3)<[

lg(n+1)+lg(n+3)
2
]2=[
lg(n+1)(n+3)
2
]
2
[
lg(n+2)2
2
]
2
=c n+1 2,故{cn}不是等比数列.

方法二:由cn=lg(n+1),c1=lg2,c2=lg3,c3=lg4,

∵c1c3=lg2•lg4<(

lg2+lg4
2
)2=(
lg8
2
)
2
(
lg9
2
)
2
=(lg3)2=c32

c1c3≠c32,∴{cn}不是等比数列.

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