已知数列{an}满足a1=12，an=an-11+an-1（n∈N*，n≥2）．

问题解答题

已知数列{a_n}满足a₁=

，a_n=

an-1

1+an-1

（n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=

且c_n=lgb_n，判断数列{c_n}是否为等比数列？并说明理由．

答案

（Ⅰ）∵a₁=

，∴a2=

1+a1

，同理得出a3=

，a4=

，育网

猜想an=

n+1

…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），b_n=n+1，c_n=lg（n+1），{c_n}不是等比数列．

方法一：由于c_nc_n+2=lg（n+1）lg（n+3）＜[

lg(n+1)+lg(n+3)

]2=[

lg(n+1)(n+3)

]2＜[

lg(n+2)2

]2=c _n+1 ²，故{c_n}不是等比数列．

方法二：由c_n=lg（n+1），c₁=lg2，c₂=lg3，c₃=lg4，

∵c₁c₃=lg2•lg4＜(

lg2+lg4

)2=＜(

lg8

)2＜(

lg9

)2=（lg3）²=c₃²，

c₁c₃≠c₃²，∴{c_n}不是等比数列．