已知：a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，a＞b，关于x的方程x2-2

问题解答题

已知：a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，a＞b，关于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有两相等的实数根，且sin∠A：sin∠B=4：3，若△ABC外接圆面积为25π，求△ABC的周长．

答案

关于x的方程x²-2（a+b）x+2ab+c²=0有两相等的实数根，

∴方程的根的判别式为0，

即4（a+b）²-4（2ab+c²）=0，

整理得a²+b²=c²，

∴△ABC为直角三角形且∠C为直角．

又sin∠A：sin∠B=4：3，

可设a=4k，b=3k，c=5k；

因为Rt△ABC的斜边为外接圆直径，

∴π•(

k)2=25π，

解得k=2，

∴a=8，b=6，c=10；

即△ABC的周长为8+6+10=24．