（I）已知a1，a2∈R，a1+a2=1，求证：a12+a22≥12；（II）若

问题解答题

（I）已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求证：a₁²+a₂²≥

；
（II）若a₁，a₂，…a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，求证：a₁²+a₂²+…+a_n²≥

．

答案

（I）证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²

因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，

所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，从而得a₁²+a₂² ≥

，

（II）证明：构造函数

f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²

=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²

=2x²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²

因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0

从而证得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥