已知等差数列{an}的公差d不为零，首项a1=2且前n项和为Sn．（Ⅰ）当S9

问题解答题

已知等差数列{a_n}的公差d不为零，首项a₁=2且前n项和为S_n．

（Ⅰ）当S₉=36时，在数列{a_n}中找一项a_m（m∈N），使得a₃，a₉，a_m成为等比数列，求m的值．

（Ⅱ）当a₃=6时，若自然数n₁，n₂，…，n_k，…满足3＜n₁＜n₂＜…＜n_k＜…并且a₁，a₃，a_n₁，a_n₂，…，a_{n_k}，…是等比数列，求n_k的值．

答案

（Ⅰ）∵数列{a_n}的公差d≠0，a₁=2，S₉=36，

∴36=9×2+

×9×8d，解之可得d=

，

∴a₃=3，a₉=6…3分

由a₃，a₉，a_m成等比数列

则

=a3•am，得a_m=12，

又12=2+(m-1)×

，

∴m=21…7分

（Ⅱ）∵{a_n}是等差数列，a₁=2，a₃=6，∴d=2，∴a_n=2n，

又a1，a3，an1成等比数列，所以公比q=3…11分，

∴ank=a1•qk+1=2•3k+1

又ank是等差数列中的项，∴ank=2nk，

∴2nk=2•3k+1，

∴nk=3k+1(k∈N)…14分．