问题
解答题
已知数列{an}满足a1=1，an=
（1）求a2，a3，a4的值； （2）求证：数列{an-2}是等比数列； （3）求an，并求{an}前n项和Sn． |
答案
（1）∵数列{an}满足a1=1，an=
an-1+1(n≥2)，1 2
∴a2=
a1+1=1 2
，a3=3 2
a2+1=1 2
，a4=7 4
a3+1=1 2
．…（3分）15 8
（2）∵
=an-2 an-1-2
=
an-1-11 2 an-1-2
=
(an-1-2)1 2 an-1-2
，1 2
又a1-2=-1，
∴数列{an-2}是以-1为首项，
为公比的等比数列．…（7分）1 2
（注：文字叙述不全扣1分）
（3）由（2）得an-2=-1×(
)n-1，则an=2-(1 2
)n-1，…（9分）1 2
∴Sn=2n-[1+
+(1 2
)2+…+(1 2
)n-1]=2n-1 2
=2n-2+(1×[1-(
)n]1 2 1- 1 2
)n-1．…（12分）1 2