将数列{an}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：

问题解答题

将数列{a_n}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀），…每一组的第1个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足S_n+1（S_n+2）=S_n（2-S_n+1），n∈N^*，
（I）求证：数列{

}成等差数列，并求出数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若从第2组起，每一组中的数自左向右均构成等比数列，且公比q为同一个正数，当a₁₈=-

时，求公比q的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记每组中最后一数a₁，a₃，a₆，a₁₀，…构成的数列为{c_n}，设d_n=n²（n-1）•c_n，求数列{d_n}的前n项和T_n．

答案

（I）证明：由s_n+1（s_n+2）=s_n（2-s_n+1）

得s_n-s_n+1=s_ns_n+1

所以

sn+1

又s₁=b₁=a₁=1

所以数列{

}是首项为1，公差为1的等差数列

所以

=n，即sn=

所以bn=

1，n=1

-1

n(n-1)

，n≥2

（II）因为1+2+…+5=15

所以第1行至第5行共含有数列{a_n}的15项

故a₁₈在表中第6行第三列．（12分）

所以，a₁₈=-

=b6q2，（13分）

所以q=2．（14分

（III）因为从第2组起，每组中的数据依次构成以b_n为首项，2为公比的等比数列

所以cn=-

n(n-1)

•2n-1（n≥2，n∈N^*）

即Cn=

1，n=1

n(n-1)

•2n-1，n≥2

于是n≥2当时那么相减得，T_n=0+（-2）×2+（-3）×2²+…+（-n）•2^n-1

-T_n=0+2×2+3×2²+…+n•2^n-1

-2T_n=2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ

相减可得，T_n=2×2+2²+2³+…+2^n-1-n•2^n-1=（1-n）•2ⁿ