问题
解答题
| 已知二次函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）． （1）若函数f（x）无零点，求证：b＞0； （2）若函数f（x）有两个零点，且两零点是相邻两整数，求证：f(-a)=
（3）若函数f（x）有两非整数零点，且这两零点在相邻两整数之间，试证明：存在整数k，使得|f(k)|＜
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答案
（1）证明：f（x）=x2+ax+b无零点，
△=a2-4b＜0，
b＞
≥0．a2 4
（2）证明：设f（x）=（x-m）（x-m-1），m∈Z，
则2m+1=-a，m(m+1)=b=
(a2-1)，1 4
所以f(-a)=b=
(a2-1)．1 4
（3）证明：设相邻两整数为t、t+1，则f（t）＞0，f（t+1）＞0且△=a2-4b＞0，
根据二次函数的单调性，f/（t）=2t+a＜0，f/（t+1）=2（t+1）+a＞0，
从而-2（t+1）＜a＜-2t即-1＜t+
＜0．a 2
所以0＜t+
+1≤a 2
或-1 2
＜t+1 2
＜0．a 2
若0＜t+
+1≤a 2
，1 2
则0＜f(t+1)=(t+1+
)2+(b-a 2
)＜a2 4
，从而|f(t+1)|＜1 4
；1 4
若-
＜t+1 2
＜0，a 2
则0＜f(t)=(t+
)2+(b-a 2
)＜a2 4
，从而|f(t)|＜1 4
．1 4
所以，存在整数k（k=t或k=t+1），使得|f(k)|＜
．1 4