问题
解答题
若f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，
（1）求f（x）的解析式；
（2）函数y=f（x+a）在区间[-1，3]上不单调，求实数a的取值范围．
答案
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），
∵f（0）=1，∴c=1，
∴f（x）=ax2+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2ax+a+b=2x，
∴
，2a=2 a+b=0
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x2-x+1．
（2）∵y=f（x+a）=（x+a）2-（x+a）+1=x2+（2a-1）x+a2-a+1 在[-1，3]不单调，
∴二次函数f（x）的对称轴x=-a+
在区间[-1，3]内，1 2
∴-1＜-a+
＜3，1 2
∴-
＜a＜5 2
，3 2
∴k的取值范围为{a|-
＜a＜5 2
}．3 2