问题 填空题

已知{an}是等比数列,{an}中有连续三项的积为1,则该三项的和的取值范围是______.

答案

设连续三项中间的项为an,则前一项为an-1,后一项为an+1

∵{an}是等比数列,根据题意有an-1•an•an+1=(an3=1,

∴an=1,设公比为q,an-1=

1
q
,an+1=q,

当q>0时,an-1+an+an+1=

1
q
+1+q≥3,当且仅当q=1时取等号,

此时该三项的和的取值范围是[3,+∞);

当q<0,即-q>0时,an-1+an+an+1=

1
q
+1+q=1-[(-
1
q
)+(-q)]≤1-2=-1,当且仅当q=-1时取等号,

此时该三项的和的取值范围是(-∞,-1],

综上,该三项的和的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).

故答案为:(-∞,-1]∪[3,+∞)

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