问题
填空题
已知{an}是等比数列,{an}中有连续三项的积为1,则该三项的和的取值范围是______.
答案
设连续三项中间的项为an,则前一项为an-1,后一项为an+1,
∵{an}是等比数列,根据题意有an-1•an•an+1=(an)3=1,
∴an=1,设公比为q,an-1=
,an+1=q,1 q
当q>0时,an-1+an+an+1=
+1+q≥3,当且仅当q=1时取等号,1 q
此时该三项的和的取值范围是[3,+∞);
当q<0,即-q>0时,an-1+an+an+1=
+1+q=1-[(-1 q
)+(-q)]≤1-2=-1,当且仅当q=-1时取等号,1 q
此时该三项的和的取值范围是(-∞,-1],
综上,该三项的和的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
故答案为:(-∞,-1]∪[3,+∞)