问题
解答题
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=
（1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn； （2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（1）在an2=S2n-1中，令n=1，n=2，
得
，即
=S1a 21
=S3a 22
（2分）
=a 21 a 1
+d)2=(a 1
+3d3a 1
解得a1=1，d=2，（3分）
∴an=2n-1．
∵bn=
=1 an•an+1
=1 (2n-1)•(2n+1)
（ 1 2
-1 (2n-1)
），1 (2n+1)
∴Tn=
（1-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 5
-1 (2n-1)
）=1 (2n+1)
．（5分）n 2n+1
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
=2n+(n+8)(2n+1) n
+17恒成立．（6分）∵2n+8 n
≥8，等号在n=2时取得．8 n
∴此时λ需满足λ＜25．（7分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•（-1）n恒成立，即需不等式λ＜
=2n-(n-8)(2n+1) n
-15恒成立．（8分）8 n
∵2n-
是随n的增大而增大，8 n
∴n=1时，2n-
取得最小值-6．8 n
∴此时λ需满足λ＜-21．（9分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21．（10分）
（3）T1=
，Tm=1 3
，Tn=m 2m+1
，n 2n+1
若T1，Tm，Tn成等比数列，则（
）2=m 2m+1
（1 3
），n 2n+1
即
=m2 4m2+4m+1
．（11分）n 6n+3
由
=m2 4m2+4m+1
，可得 n 6n+3
=3 n
＞0，-2m2+4m+1 m2
即-2m2+4m+1＞0，（12分）
∴1-
＜m＜1+6 2
．（13分）6 2
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12．
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．（14分）
支托