问题
解答题
设α、β为函数g（x）=2x2-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f(x)=
（ I）求f（a）•g（x）的值； （Ⅱ） 证明：函数f（x）在[α，β]上为增函数； （III） 是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差达到最小．若存在，则求出实数m的值；否则，请说明理由． |
答案
（ I）由题意可得
，故 f（α）•f（β）=α+β= m 2 αβ=-1
×4a-m a2+1
=4β-m β2+1
=-4．（4分）16αβ-4m(α+β)+m2 (αβ)2+(α+β)2-2αβ+1
（Ⅱ）∀x1，x2∈[α，β]，x1＜x2 ，可得f(x1)-f(x2)=
．(x2-x1)[4x1x2-4-m(x2+x1)] (
+1)(x 21
+1)x 22
∵（x1-α）（x2-β）≤0，（x1-β）（x2-α）＜0，两式相加可得 2x1x2-（α+β）（x1+x2）+2αβ＜0．
∵α+β=
，αβ=-1，∴（x2-x1）[4x1x2-4-m（x2+x1）]＜0，m 2
∴f（x1）-f（x2）＜0，∴函数f（x）在[α，β]上为增函数．（4分）
（III）函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差为 f(β)-f(α)=f(β)+
≥4，4 f(β)
当且仅当 f（β）=
时，等号成立，此时，f（β）=2，即 4 f(β)
=2，2β2-mβ-2=0．4β-m β2+1
结合α+β=
，αβ=-1可得m=0．m 2
综上可得，存在实数m=0，满足条件．（5分）