函数f（x）=ax2+bx+c，其中a＜0，对∀x∈R，恒有f（x）=f（4-x

问题填空题

函数f（x）=ax²+bx+c，其中a＜0，对∀x∈R，恒有f（x）=f（4-x），若f（1-3x²）＜f（1+x-x²），则x的取值范围是______．

答案

由∀x∈R，恒有f（x）=f（4-x），知f（x）的图象关于x=2对称，

又a＜0，所以f（x）在（-∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减，

而1-3x²≤1＜2，1+x-x²=-(x-

)2+

≤

＜2，

故由f（1-3x²）＜f（1+x-x²），得1-3x²＜1+x-x²，即2x²+x＞0，

解得x＜-

或x＞0，

故答案为：（-∞，-

）∪（0，+∞）．