证明：（1）∵函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），满足f（1）=0，

∴a+b+c=0．（1分）

若a≤0，∵a＞b＞c∴b＜0，c＜0，

则有a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，∴a＞0成立．（2分）

若c≥0，则有b＞0，a＞0，此时a+b+c＞0，这与a+b+c=0矛盾，

∴c＜0成立．（3分）

∵a²+[f（m₁）+f（m₂）]•a+f（m₁）•f（m₂）=0

∴[a+f（m₁）]•[a+f（m₂）]=0，∴m₁，m₂是方程f（x）=-a的两根

∴△=b²-4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a-c）≥0

而a＞0，c＜0∴3a-c＞0，

∴b≥0．（4分）

（2）f（1）=0，∴1是方程f（x）=0的一个根，

设x₁=1，另一个根为x₂，有x2=-

b

a

-1，x2=

c

a

．

∵b=-a-c≥0，a＞0，∴

c

a

≤-1；

又a＞0，a＞-a-c＞c，∴-2＜

c

a

≤-1，

∴2≤1-

c

a

＜3，即2≤|x₁-x|＜3，

故f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是[2，3）．（8分）

设f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x-

c

a

)

由已知f（m₁）=-a或f（m₂）=-a，不妨设f（m₁）=-a

则a(m1-1)(m1-

c

a

)=-a＜0，∴

c

a

＜m₁＜1

∴m₁+3＞

c

a

+3＞1，

∴f（m₁+3）＞f（1）＞0，

同理当f（m₂）=-a，有f（m₂+3）＞0，

所以f（m₁+3），f（m₂+3）中至少有一个为正数．（12分）