已知数列{an}前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2n（1-n）．

问题解答题

已知数列{a_n}前n项的和为S_n，前n项的积为T_n，且满足T_n=2^n（1-n）．

①求a₁；

②求证：数列{a_n}是等比数列；

③是否存在常数a，使得（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）对n∈N⁺都成立？若存在，求出a，若不存在，说明理由．

答案

（1）∵数列{a_n}前n项的和为S_n，前n项的积为T_n，且满足T_n=2^n（1-n）．

∴a₁=T₁=2^1（1-1）=1

（2）证明：∵T_n=2^n（1-n）．

∴T_（n-1）=2^{（n-1）（2-n）}．

将上面两式相除，

得：a_n=2^{[-2（n-1）]}．

∴a_n=

^（n-1）．

∵a_n+1=

^（n）．

an+1

∴数列{a_n}是等比数列；

（3）∵sn=

1-(

∴sn+1=

)n+1

，sn+2=

)n+2

∵（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）

∴（S_n+1-a）²=

16[(

)(2n+2)]

而：（S_n+2-a）（S_n-a）=（S_n+2-

）（S_n-

）=

16[(

)(2n+2)]

（S_n+1-

）²=（S_n+2-

）（S_n-

）对n∈N⁺都成立

即：存在常数a=

，使（S_n+1-a）²=（S_n+2-a）（S_n-a）对n∈N⁺都成立．