问题
解答题
已知函数f（x）=x2+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求实数a的值；
（2）利用单调性的定义证明：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
答案
（本小题满分12分）
（1）∵函数f（x）=x2+ax+b，且f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴-
=1，解得a=-2．…（3分）a 2
（2）根据（1）可知 f （ x ）=x2-2x+b，
下面证明函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
设x1＞x2≥1，则f（x1）-f（x2）…（5分）
=（x12-2x1+b）-（x22-2x2+b）
=（x12-x22）-2（x1-x2）
=（x1-x2）（x1+x2-2）…（8分）
∵x1＞x2≥1，则x1-x2＞0，且x1+x2-2＞2-2=0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），…（11分）
故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．…（12分）