在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n

问题解答题

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）．

（1）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），证明{b_n}是等比数列；

（2）求数列{a_n}的通项公式．

答案

（1）证明：由题设a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2），得

a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），

即b_n=qb_n-1，n≥2．

又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，

所以{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列．

（2）由（1）可得数列{b_n}的通项公式b_n=q^n-1，

∵b_n=a_n+1-a_n，

∴a_n-a_n-1=q^n-2，

…

a₂-a₁=1，

把上述各式相加，得到a_n-a₁=q^n-2+q^n-3+…+q

∴a_n=

1-qn-1

1-q

，q≠1

n，q=1