问题
解答题
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F(x)=
（1）若f（-1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式； （2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围； （3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？ |
答案
（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+1=0①（1分）
又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0
且由y=a(x+
)2+b 2a
知4a-b2 4a
=0即4a-b2=0②4a-b2 4a
由①②得a=1，b=2（3分）
∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．
∴F(x)=
（5分）(x+1)2(x＞0) -(x+1)2(x＜0)
（2）由（1）有g（x）=f（x）-kx=x2+2x+1-kx=x2+（2-k）x+1=(x+
)2+1-2-k 2
，（7分）(2-k)2 4
当
≥2或k-2 2
≤-2时，k-2 2
即k≥6或k≤-2时，g（x）是具有单调性．（9分）
（3）∵f（x）是偶函数
∴f（x）=ax2+1，∴F(x)=
，（11分）ax2+1(x＞0) -ax2-1(x＜0)
∵m＞0，n＜0，设m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞-n＞0，
∴|m|＞|-n|（13分）
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am2+1）-an2-1=a（m2-n2）＞0，
∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）