已知f（x）=logmx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），

问题解答题

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_nf（a_n），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=

时，求S_n；
（3）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．

答案

（1）由题意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，即log_ma_n=2n+2，

∴a_n=m²ⁿ⁺²

∴

an+1

m2(n+1)+2

m2n+2

=m2

∵m＞0且m≠1，

∴m²为非零常数，

∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列

（2）由题意b_n=a_nf（a_n）=m²ⁿ⁺²log_mm²ⁿ⁺²=（2n+2）•m²ⁿ⁺²，

当m=

时，bn=(2n+2)•2n+1=(n+1)•2n+2

∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²①

①式乘以2，得2S_n=2•2⁴+3•2⁵+4•2⁶+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³②

②-①并整理，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）•2ⁿ⁺³

=-23-

23[1-2n]

1-2

+(n+1)•2n+3=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺³=2ⁿ⁺³•n

（3）由题意c_n=a_nlga_n=（2n+2）•m²ⁿ⁺²lgm，要使c_n-1＜c_n对一切n≥2成立，

即nlgm＜（n+1）•m²•lgm对一切n≥2成立，

①当m＞1时，n＜（n+1）m²对n≥2成立；

②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m²

∴n＞

1-m2

对一切n≥2成立，只需

1-m2

＜2，

解得-

＜m＜

，考虑到0＜m＜1，

∴0＜m＜

．

综上，当0＜m＜

或m＞1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项