设数列{xn}满足xn≠1且（n∈N*），前n项和为Sn．已知点p1（x1，S1

问题解答题

设数列{x_n}满足x_n≠1且（n∈N^*），前n项和为S_n．已知点p₁（x₁，S₁），P₂（x₂，s₂），…P_n（x_n，s_n）都在直线y=kx+b上（其中常数b，k且k≠1，b≠0），又y_n=log

xn．
（1）求证：数列{x_n]是等比数列；
（2）若y_n=18-3n，求实数k，b的值；
（3）如果存在t、s∈N^*，s≠t使得点（t，y_t）和点（s，y_t）都在直线y=2x+1上．问是否存在正整数M，当n＞M时，x_n＞1恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由．

答案

（1）证明：∵点P_n（x_n，S_n），P_n+1（x_n+1，S_n+1）都在直线y=kx+b上，

∴S_n=kx_n+b，S_n+1=kx_n+1+b

两式相减得S_n+1-S_n=kx_n+1-kx_n，即x_n+1=kx_n+1-kx_n，

∵常数k≠0，且k≠1，∴

xn+1

k-1

（非零常数）

∴数列{x_n]是等比数列；

（2）由y_n=log_0.5x_n，得x_n=（

）^y_n=8^n-6，

∴

k-1

=8，得k=

．

又P_n在直线上，得S_n=kx_n+b，

令n=1得b=S₁-

x₁=-

8-5

；

（3）∵y_n=log_0.5x_n，∴当n＞M时，x_n＞1恒成立等价于y_n＜0恒成立．

∵存在t，s∈N^*，使得（t，y_s）和（s，y_t）都在y=2x+1上，

∴y_s=2t+1 ①，y_t=2s+1 ②．

①-②得：y_s-y_t=2（t-s），

∵s≠t，∴{y_n}是公差d=-2＜0的等差数列

①+②得：y_s+y_t=2（t+s）+2，

又y_s+y_t=y₁+（s-1）•（-2）+y₁+（t-1）•（-2）=2y₁-2（s+t）+4

由2y₁-2（s+t）+4=2（t+s）+2，得y₁=2（t+s）-1＞0，

即：数列{y_n}是首项为正，公差为负的等差数列，

所以一定存在一个最小自然数M，使

yM≥0

yM+1＜0

，即

2(s+t)-1+(M-1)•(-2)≥0

2(s+t)-1+M•(-2)＜0

解得t+s-

＜M≤t+s+

．

∵M∈N^*，∴M=t+s．

即存在自然数M，其最小值为t+s，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立．