数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，n•an+1=（n+2）Sn（n=

问题解答题

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，n•a_n+1=（n+2）S_n（n=1，2，3…）．
（1）证明数列{

}是公比为2的等比数列；
（2）求S_n关于n的表达式．
（3）请猜测是否存在自然数N₀，对于所有的n＞N₀有S_n＞2007恒成立，并证明．

答案

（1）证明：∵a_n+1=S_n+1-S_n，

由已知a_n+1=

n+2

S_n，∴

n+2

S_n=S_n+1-S_n，

（n+2）S_n=nS_n+1-nS_n，2（n+1）S_n=nS_n+1，

Sn+1

n+1

．又

=1，

∴{

}是以1为首项，2为公比的等比数列

（2）∵

=1•2^n-1=2^n-1，∴S_n=n•2^n-1．

（3）猜测：存在N₀=8，当n＞8时有S_n＞2007恒成立

∵

Sn+1

(n+1)•2n

n•2n-1

2(n+1)

＞1，

∴{S_n}为递增数列，

∴存在N₀=8，对所有n＞N₀有S_n＞2007恒成立