问题 解答题

已知关于x的一元二次方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0.

(1)求证:无论m取何实数时,原方程总有两个实数根;

(2)若原方程的两个实数根一个大于2,另一个小于7,求m的取值范围.

答案

(1)证明:∵△=[-(4m+1)]2-4(3m2+m)=4(m+

1
2
2

∵(m+

1
2
2是非负数,

∴4(m+

1
2
2≥0,即△≥0.

∴无论m取何实数时,原方程总有两个实数根;

(2)解关于x的一元二次方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0得到,x=

4m+1±2(m+
1
2
)
2

∴x1=,x2=m.

则由题意,得

3m+1>2
m<7
3m+1<7
m>2

解得,

1
3
<m<7.

即m的取值范围是

1
3
<m<7.

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