问题
解答题
已知数列{an}的前n项之和为Sn,满足an+Sn=n.
(Ⅰ)证明:数列{an-1}为等比数列,并求通项an;
(Ⅱ)设bn=(2-n)•(an-1),求数列{bn}中的最大项的值.
答案
(Ⅰ)由题意,得Sn=n-an,所以Sn-1=n-1-an-( )1,
两式相减得Sn-Sn-1=1+an-1-an,
整理,得2an=an-1+1,(n≥2)
配方得:2(an-1)=an-1-1
∴
=an-1 an-1-1
,可得{an-1}为公比为1 2
的等比数列1 2
由已知式可得a1+s1=1,得a1=1 2
∴a1-1=-
,可得an-1=(-1 2
)(1 2
)n-1=-1 2
,1 2n
n=1时也符合
因此,数列{an}的通项公式为an=1-
…(7分)1 2n
(Ⅱ)bn=(2-n)(an-1)=(n-2)•1 2n
可得bn+1-bn=(n-1)•
-(n-2)•1 2n+1
=1 2n
(3-n)1 2n+1
∴当n=1,2时,bn+1-bn≥0;当n=3时,bn+1-bn=0;当n≥4时,bn+1-bn<0
∴当n=3或4时,bn达到最大值.即数列{bn}中的最大项为b3=b3=
.…(14分)1 8