问题 解答题

已知数列{an}的前n项之和为Sn,满足an+Sn=n.

(Ⅰ)证明:数列{an-1}为等比数列,并求通项an

(Ⅱ)设bn=(2-n)•(an-1),求数列{bn}中的最大项的值.

答案

(Ⅰ)由题意,得Sn=n-an,所以Sn-1=n-1-an-(  )1

两式相减得Sn-Sn-1=1+an-1-an

整理,得2an=an-1+1,(n≥2)

配方得:2(an-1)=an-1-1

an-1
an-1-1
=
1
2
,可得{an-1}为公比为
1
2
的等比数列

由已知式可得a1+s1=1,得a1=

1
2

a1-1=-

1
2
,可得an-1=(-
1
2
)(
1
2
)
n-1
=-
1
2n

n=1时也符合

因此,数列{an}的通项公式为an=1-

1
2n
…(7分)

(Ⅱ)bn=(2-n)(an-1)=(n-2)•

1
2n

可得bn+1-bn=(n-1)•

1
2n+1
-(n-2)•
1
2n
=
1
2n+1
(3-n)

∴当n=1,2时,bn+1-bn≥0;当n=3时,bn+1-bn=0;当n≥4时,bn+1-bn<0

∴当n=3或4时,bn达到最大值.即数列{bn}中的最大项为b3=b3=

1
8
.…(14分)

单项选择题
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