问题
解答题
已知定义在R上的函数f（x）和数列{an}满足下列条件：an=f（an-1）（n=2，3，4，…），f(an)-f(an-1)=
（I）证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式； （II）设cn=log2bn，Sn=c1+c2+c3+…+cn，求使Sn取最大值时的n值． |
答案
（I）∵bn=an+1-an，∴bn+1=an+2-an+1，
∴
=bn+1 bn
=an+2-an+1 an+1-an
=f(an+1)-f(an) an+1-an
=an+1-an 2 an+1-an 1 2
∴数列{bn}是等比数列，
∵b1=a2-a1=30∴bn=15•(
)n-2．1 2
（II）cn=log215+2-n，
∵cn+1-cn=-1，
∴数列{cn}是递减的等差数列，
令cn＞0得n＜2+log215，∵log215∈（3，4），
∴2+log215∈（5，6）
∴数列{cn}的前5项都是正的，第6项开始全部是负的，
∴n=5时，Sn取最大值．