已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=a（Sn-an+1）（a为常数，且a≠

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a≠0，a≠1）．

（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；

（Ⅲ）设c_n=log_aa_2n-1，求数列{a_2n•c_n}的前n项和T_n．

答案

（I）∵S_n=a（S_n-a_n+1）

∴S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）（n≥2）

两式相减可得，S_n-S_n-1=a（S_n-a_n+1-S_n-1+a_n-1-1）（n≥2）

即a_n=a[（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1]=a•a_n-1

∴

an-1

=a（n≥2）

∵S₁=a（s₁-a₁+1）

∴a₁=a

∴数列{a_n}是以a为首项以a为公比的等比数列

∴a_n=aⁿ

（II）∵S_n=a（S_n-aⁿ+1）

∴S_n=a×

1-an

1-a

∴b_n=a_n²+S_n•a_n=an(an+

a(1-an)

1-a

）

∵b_n为等比数列∴b₂²=b₁b₃

∴a4[a2+

a(1-a2)

1-a

] 2=2a²•a³[a3+

a(1-a3)

1-a

]

∵a≠0，a≠1

解可得a=

（III）∵C_n=log_aa_2n-1=2n-1，a_2n•C_n=（2n-1）•a²ⁿ

∴T_n=a²+3a⁴+…+（2n-1）a²ⁿ

a²T_n=a⁴+3a⁶+…+（2n-3）a²ⁿ+（2n-1）•a²ⁿ⁺²

两式相减可得，（1-a²）T_n=a²+2（a⁴+a⁶+…+a²ⁿ）-（2n-1）•a²ⁿ⁺²

=a2+

2a4(1-a2n-2)

1-a2

-(2n-1)•a2n+2

∴T_n=

a2(1+a2)-(2n+1)•a2n+2+(2n+1)•a2n+4

(1-a2) 2