问题
解答题
| 设f（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证： （1）方程f（x）=0有实数根； （2）-2＜
（3）设x1，x2是方程f（x）=0的两个实数根，则
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答案
（1）∵a≠0，a+b+c=0，a+c=-b，
∴△=4b2-12ac=4（a+c）2-12ac=4[
a2+(3 4
a-c)2]＞01 2
f（x）=3ax2+2bx+c=0有实数根，--（4分）
（2）由f（0）f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
∵a+b+c=0，
∴c=-（a+b），
∴-（a+b）•（2a+b）＞0，
∴-a2(1+
)(2+b a
)＞0，b a
∴(1+
)(2+b a
)＜0b a
解得-2＜
＜-1----------（9分）b a
（3）∵x1，x2是方程f（x）=0的两个实数根，
∴x1+x2=-
，x1•x2=2b 3a
=-c 3a a+b 3a
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2
=
-4（-4b2 9a2
）a+b 3a
=
(4 9
+b a
)2+3 2 1 3
∵-2＜
＜-1b a
∴
＜(x1-x2)2＜1 3 4 9
∴
≤|x1-x2|＜3 3
．--------（15分）2 3