数列{an}是以a为首项，q为公比的等比数列．令bn=1-a1-a2-…-an，

问题解答题

数列{a_n}是以a为首项，q为公比的等比数列．令b_n=1-a₁-a₂-…-a_n，c_n=2-b₁-b₂-…-b_n，n∈N^*．

（1）试用a、q表示b_n和c_n；

（2）若a＜0，q＞0且q≠1，试比较c_n与c_n+1的大小；

（3）是否存在实数对（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比数列．若存在，求出实数对（a，q）和{c_n}；若不存在，请说明理由．

答案

（1）当q=1时，b_n=1-（a₁+a₂+…+a_n）=1-na，cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-

[(1-a)+(1-na)]n

n2+(

-1)n+2，

当q≠1时，bn=1-(a1+a2+…+an)=1-

a(1-qn)

1-q

cn=2-(b1+b2+…+bn)=2-(1-

1-q

)n-

1-q

(q+q2+…+qn)

=2-(1-

1-q

)n-

(1-q)2

(1-qn)

=2-

(1-q)2

-(1-

1-q

)n+

(1-q)2

所以bn=

1-na，q=1

a(1-qn)

1-q

，q≠1

，

c_n=

n2+(

-1)n+2 q=1

(1-q)2

-(1-

1-q

)n+

(1-q)2

qn q≠1

；（4分）

（2）因为cn=2-

(1-q)2

-(1-

1-q

)n+

(1-q)2

qn，

所以cn+1=2-

(1-q)2

-(1-

1-q

)(n+1)+

(1-q)2

qn+1cn+1-cn=-(1-

1-q

(1-q)2

(qn+1-qn)=-1+

1-q

(1-qn+1)

当q＞1时，1-q＜0，1-qⁿ⁺¹＜0；

当0＜q＜1时，1-q＞0，1-qⁿ⁺¹＞0，

所以当a＜0，q＞0且q≠1时，c_n+1-c_n＜0，即c_n+1＜c_n；（5分）

（3）因为q≠1，q≠0，

所以cn=2-

(1-q)2

-(1-

1-q

)n+

(1-q)2

qn，

因为{c_n}为等比数列，则

(1-q)2

1-q

或

(1-q)2

1-q

，

所以

或

a=1

q=0

（舍去），所以

．（5分）