问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=2且an+1=
（1）求证：数列{
（2）证明：
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答案
（本小题满分14分）
（1）由题得：an+1（an+n）=2（n+1）an，
即anan+1+nan+1=2（n+1）an，
故2(
-1)=n+1 an+1
-1即数列{n an
-1}为等比数列，…（3分）n an
∴
-1=(-n an
)(1 2
)n-1=-(1 2
)n，1 2
∴an=n+
…（7分）n 2n-1
（2）由（1）知
=1+an n
…（8分）1 2n-1
∴
+a1 1
+a2 2
+…+a3 3
≤n+an n
+1 20
+1 21
+…+1 22 1 2n-1
…（14分）=n+ [1-(
)n]1 2 1- 1 2 =n+2-(
)n-11 2 ＜n+2