问题
解答题
设f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（I）求证：函数f（x）与g（x）的图象有两个交点；
（Ⅱ）设函数f（x）与g（x）的图象的两个交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求|A1B1|的取值范围．
答案
（I）∵f（1）=0
∴a+b+c=0
∵a＞b＞c
∴a＞0，c＜0
由ax2+bx+c=ax+b得ax2+（b-a）x+c-b=0，
△=（b-a）2-4a（c-b）=（-a-c-a）2-4a（c+a+c）=c2-4ac
∵a＞0，c＜0
∴△＞0所以函数f（x）与g（x）的图象有两个交点．
（II）由已知方程ax2+（b-a）x+c-b=0，两根为x1，x2，
x1+x2=
=2+a-b a
，x1x2=c a
=1+c-b a
，2c a
|x1-x2|=
=(x1+x2)2-4x1x2
=(2+
)2-4(1+2c a
)c a
=(
)2-4(c a
)c a (
-2)2-4c a
由a+b+c=0，a＞b＞c得a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
于是得到，-2＜
＜-c a
，1 2
∴|x1-x2|∈(
，23 2
)3
所以，|A1B1|的取值范围(
，23 2
)．3