问题 解答题

已知二次函数f(x)的图象顶点为A(1,16),且图象在x轴上截得线段长为8.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)当x∈[0,2]时,关于x的函数g(x)=f(x)-(t-x)x-3的图象始终在x轴上方,求实数t的取值范围.

答案

(1)∵二次函数图象顶点为(1,16),

∴函数的对称轴为x=1

∵在x轴上截得线段长为8,

∴抛物线与x轴的交点坐标为(-3,0),(5,0),…(2分)

又∵开口向下,设原函数为f(x)=a(x+3)(x-5)(a<0)…(4分)

将(1,16)代入得a=-1,…(6分)

∴所求函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+2x+15.…(7分)

(2)g(x)=f(x)-(t-x)x-3=(2-t)x+12,x∈[0,2]…(9分)

由g(x)得图象在x轴上方,根据一次函数的性质可得

g(0)>0
g(2)>0
,…(12分)

即-2t+16>0

解得t<8…(14分)

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