问题
解答题
设抛物线y2=4px（p＞0）的准线与x轴的交点为M，过点M作直线l交抛物线于A，B两点．若直线l的斜率依次取p，p2，…，pn时，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点依次为N1，N2，…，Nn，当0＜p＜1时，求S=
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答案
∵抛物线y2=4px（p＞0）准线为x=-p
∴M（-p，0），可得直线l的方程为y=pn（x+p）
与抛物线y2=4px消去x，得y2-
y+4p2=04p pn
设A（x1，y1），B（x2，y2）
可得y1+y2=
，y1y2=4p2，所以x1+x2=4p pn
（y12+y22）=p(1 4p
-2)4 p2n
∴线段AB的中点坐标为（
，x1+x2 2
），即（p(y1+y2 2
-1)，2 p2n
）2p pn
因此，线段AB的垂直平分线为y-
=2p pn
[x-p(-1 pn
-1)]2 p2n
令y=0，得xn=(
+1)p，得当斜率kn=pn时，Nn((2 p2n
+1)p，0)．2 p2n
因此，|NnNn+1|=|xn+1-xn|=|(
+1)p-(2 p2n+2
+1)p|=2 p2n
(0＜p＜1)，2(1-p2) p2n+1
所以
=1 |NnNn+1|
=p2n+1 2(1-p2)
•(p2)n-1，p3 2(1-p2)
所以{
}是以1 NnNn+1
为首项，以p2为公比的等比数列，且0＜p2＜1，p3 2(1-p2)
故S=
+1 |N1N2|
+…+1 |N2N3|
+…=1 NnNn+1
=p3 2(1-p2) 1-p2
．p3 2(1-p2)2
