证明：（1）由a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ，

得an+1=

1

4

×3n+1=-(an-

1

4

×3n)，

即bn+1=-bn•b1=a1-

3

4

=

1

4

．

∴数列{b_n}是首项为

1

4

，公比为-1的等比数列．

（2）由bn=

1

4

×(-1)n-1，

得an-

1

4

× 3n =

1

4

×(-1)n-1，

an=

1

4

×3n+

1

4

×(-1)n-1=

1

4

×[3n+(-1) n-1]

S_n=[3+3²+3³+…+3ⁿ+（-1）⁰+（-1）¹+（-1）¹+（-1）²+…+（-1）^n-1]

=

1

4

[

3n+1-3

2

+

1+(-1)n+1

2

]．

证明：（3）T2n=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2n-1

+

1

a2n

=4(

1

3+1

+

1

3 2-1

+

1

3 3+1

+

1

3 4-1

…+

1

3 2n-1+1

+

1

3 2n-1

)

=4[(

1

3+1

+

1

3 3+1

+…+

1

3 2n-1+1

)+(

1

3 2-1

+

1

3 4-1

+…+

1

3 2n-1

)]

＜4[(

1

3

+

1

3 3

+…+

1

3 2n-1

)+(

1

3 2-1

+

1

3 4-1

+…+

1

3 2n-1

)]

∵3²ⁿ-1＞3^2n-1，（n∈N^*），

∴

1

3 2n-1

＜

1

3 2n-1

，(n∈N*)，

∴T2n＜8(

1

3

+

1

3 2

+…+

1

3 2n-1

)

=8×

1 3 (1- 1 9n )

1- 1 9

=3（1-

1

9n

）＜3．